Các tiên đề Peano có thể được bổ sung bằng các phép toán cộng và nhân và quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) thông thường trên N. Các hàm và quan hệ tương ứng được xây dựng theo lý thuyết tập hợp hoặc logic bậc hai, và có thể được cho thấy là duy nhất bằng cách sử dụng các tiên đề Peano.

Phép cộng

Phép cộng là một hàm ánh xạ hai số tự nhiên (hai phần tử của N) sang một số khác. Nó được định nghĩa đệ quy là:

a + 0 = a , (1) a + S ( b ) = S ( a + b ) . (2) {\displaystyle {\begin{aligned}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2)}}\end{aligned}}}

Ví dụ:

a + 1 = a + S ( 0 ) bằng định nghĩa = S ( a + 0 ) áp dụng (2) = S ( a ) , áp dụng (1) a + 2 = a + S ( 1 ) bằng định nghĩa = S ( a + 1 ) áp dụng (2) = S ( S ( a ) ) áp dụng  a + 1 = S ( a ) a + 3 = a + S ( 2 ) bằng định nghĩa = S ( a + 2 ) áp dụng (2) = S ( S ( S ( a ) ) ) áp dụng  a + 2 = S ( S ( a ) ) v.v. {\displaystyle {\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{bằng định nghĩa}}\\&=S(a+0)&{\mbox{áp dụng (2)}}\\&=S(a),&{\mbox{áp dụng (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{bằng định nghĩa}}\\&=S(a+1)&{\mbox{áp dụng (2)}}\\&=S(S(a))&{\mbox{áp dụng }}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+S(2)&{\mbox{bằng định nghĩa}}\\&=S(a+2)&{\mbox{áp dụng (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{\mbox{áp dụng }}a+2=S(S(a))\\{\text{v.v.}}&\\\end{aligned}}}

Cấu trúc (N, +) là một monoid giao hoán với phần tử đơn vị 0. (N, +) cũng là một magma triệt tiêu, và do đó nhúng được trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất nhúng N là các số nguyên.

Phép nhân

Tương tự, phép nhân là một hàm ánh xạ hai số tự nhiên sang số khác. Ngoài ra, nó được định nghĩa đệ quy là:

a ⋅ 0 = 0 , a ⋅ S ( b ) = a + ( a ⋅ b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{aligned}}}

Dễ dàng thấy rằng S (0) (hoặc "1", trong ngôn ngữ quen thuộc của biểu diễn thập phân) là đơn vị phải của phép nhân:

a · S (0) = a + (a · 0) = a + 0 = a

Để chỉ ra rằng S(0) cũng là phần tử đơn vị trái của phép nhân cần có tiên đề quy nạp do cách định nghĩa phép nhân:

• S(0) là phần tử đơn vị bên trái của 0: S(0) · 0 = 0.
• Nếu S(0) là phần tử đơn vị bên trái của a (tức là S(0) · a = a), thì S(0) cũng là phần tử đơn vị bên trái của S(a): S(0) · S(a) = S(0) + S(0) · a = S(0) + a = a + S(0) = S(a+0) = S(a).

Do đó, bởi tiên đề quy nạp S (0) là phần tử đơn vị trái của phép nhân của tất cả các số tự nhiên. Hơn nữa, có thể chỉ ra rằng phép nhân có tính phân phối trên phép cộng:

a · (b + c) = (a·b) + (a ·c).

Do đó, (N, +, 0, ·, S(0)) là một nửa vành giao hoán.

Bất đẳng thức

Quan hệ toàn tự thông thường trên các số tự nhiên có thể được định nghĩa như sau, giả sử 0 là số tự nhiên:

Với mọi a, b ∈ N, a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại một số c ∈ N sao cho a + c = b.

Mối quan hệ này ổn định dưới phép cộng và nhân: cho a , b , c ∈ N {\displaystyle a,b,c\in \mathbf {N} } , nếu a ≤ b, thì:

• a + c ≤ b + c và
• a · c ≤ b · c.

Do đó, cấu trúc (N, +, ·, 1, 0, ≤) là một nửa vành có thứ tự; bởi vì không có số tự nhiên trong khoảng từ 0 đến 1, nên nó là một nửa vành có thứ tự rời rạc.

Tiên đề quy nạp đôi khi được nêu ở dạng sau sử dụng giả thuyết mạnh hơn, sử dụng quan hệ thứ tự "≤":

Đối với bất kỳ vị từ φ, nếu

• φ(0) đúng, và
• cho mỗi n, k ∈ N nếu k ≤ n suy ra rằng φ(k) đúng, thì φ(S(n)) là đúng,

thì với mọi n ∈ N, φ(n) đúng.

Dạng tiên đề quy nạp này, được gọi là quy nạp mạnh, là hệ quả của cách phát biểu chuẩn mực, nhưng thường phù hợp hơn cho việc lí giải về quan hệ thứ tự ≤. Ví dụ, để chỉ ra rằng tập hợp các số tự nhiên được sắp tốt — mọi tập hợp con không rỗng của N có một phần tử nhỏ nhất, ta có thể lý giải như sau. Cho X ⊆ N không rỗng và giả sử X không có phần tử nhỏ nhất.

• Vì 0 là phần tử nhỏ nhất của N, nên 0 ∉ X
• Với mọi n ∈ N, giả sử với mọi k ≤ n, k ∉ X Khi đó S(n) ∉ X, bởi nếu không nó sẽ là phần tử nhỏ nhất của X.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp mạnh, với mọi n ∈ N, n ∉ X Do đó, X ∩ N = ∅, mâu thuẫn với giả thiết rằng X là tập con không rỗng của N. Do đó X có phần tử nhỏ nhất.